学习篇：高等工程数学（一） 矩阵的三角分解 （LU分解，LDR分解，Cholesky分解）

本文介绍了矩阵的三角分解，如LU分解，LDR分解，Cholesky分解等。
为博主在学习过程中，总结或者思考的记录，用于加深印象，不作为知识讲解和科普，如果理解有误还请指出。

前言

  对矩阵进行分解能够清晰反应出原矩阵的某些数字特征，在矩阵运算中可以起到化简的作用，其次在一些特定的场合将矩阵分解为合适的形式能够减少运算误差，在数值计算中有很重要的地位。

一、LR（LU）分解，也称Doolittle分解

若矩阵A可以表示为：

A = L·R

其中，L为单位下三角矩阵，R为上三角矩阵，则称A可三角分解（LR分解）。例如：

$$A =\begin{bmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 4 &3&13\\ 2&2&20 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & & \\ 2 &1&\\ 1&1&1 \end{bmatrix} \cdot\begin{bmatrix} 2 & 1 &4 \\ &1&5\\ &&11 \end{bmatrix} = L\cdot R$$

LR分解可以用于解线性方程组 $Ax = b$，若方阵A有LR分解，即$A = L\cdot R$，令$Rx = y$，则方程组等价于：

$$\left \{\begin{aligned} Ly = b \\ Rx = y\end{aligned}\right. ，此处L.R.b均为已知量$$

由于L和R的特殊形式，$Ly = b$ 很容易利用高斯消元迭代求出y，然后代入$Rx = y$，再次迭代求出x。

那么提出三个问题，什么矩阵可以分解？什么矩阵不可以分解？以及分解的形式是否唯一？

1. 什么矩阵可以分解

很容易找到矩阵$\begin{bmatrix}0&&1\\1 &&0 \end{bmatrix}$，此矩阵可逆但是没有三角分解。

定理1：

n阶方阵A具有唯一LR分解的充要条件是A的前 n - 1个顺序主子式不为零。
其中， $A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{pmatrix}$，第k个顺序主子式$\Delta_{k}=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k 1} & a_{k 2} & \cdots & a_{k k} \end{array}\right|$
易知$a_{11}\ne0$，那么对A进行行初等变换，把除了第一行以外的所有行的第一个元素全部消除，相当于在A的左边乘以下三角矩阵$L_{1}$，其中：

$$L_{1}=\left[\begin{array}{ccccc} 1 & & & \\ -a_{21} a_{11}^{-1} & 1 & & & \\ -a_{31} a_{11}^{-1} & 0 & \ddots & & \\ \vdots& \vdots & \ddots & \ddots & \\ -a_{n 1} a_{11}^{-1} & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array}\right]$$

此时有：

$$L_{1} A \triangleq\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22}^{(1)} & \cdots & a_{2 n}^{(1)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_{n 2}^{(1)} & \cdots & a_{m}^{(1)} \end{array}\right]$$

接着构造下一个下三角矩阵$L_{2}$，将第二列对角线以下的元素全部消除，注意此时的条件$\Delta_{2} = a_{11}\cdot a_{22}^{(2)}\ne0,a_{11}\ne0$,即$a_{22}^{(2)}\ne0$.

$$L_{2} =\left[\begin{array}{ccccc} 1 & & & & & \\ 0 & 1 & & & & \\ 0 & -a_{32}^{(1)} / a_{22}^{(1)} & 1 & & & \\ 0 & -a_{42}^{(1)} / a_{22}^{(1)} & 0 & \ddots & & \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \\ 0 & -a_{n 2}^{(1)} / a_{22}^{(1)} & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array}\right]$$

继续左乘在$L_{1}A$处，有:

$$L_{2} L_{1} A= \left[\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\ &a_{22}^{(1)} & a_{22}^{(1)} & \cdots & a_{2 n}^{(1)} \\ &\vdots & a_{33}^{(2)} & \cdots & a_{3 n}^{(2)} \\ & 0& \vdots & \ddots & \vdots \\ &0 & a_{n 3}^{(2)} & \cdots & a_{m}^{(2)} \end{array}\right]$$

以此类推，最终可以化简得到：

$$L_{n-1} \cdots L_{2} L_{1} A=\left[\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\ & a_{22}^{(1)} & a_{22}^{(1)} & \cdots & a_{2 n}^{(1)} \\ & & a_{33}^{(2)} & \cdots & a_{3 n}^{(2)} \\ & & & \ddots & \vdots \\ & & & & a_{m}^{(n-1)} \end{array}\right] \triangleq R$$

记$L_{n-1}\cdots L_{2} L_{1}=L^{-1}$，则有$L^{-1}A =R$，L也是下三角矩阵，且为单位下三角矩阵。（下三角矩阵的逆仍然为下三角矩阵）

2. 那什么情况下不能分解呢？

我们看看上面的过程，是不是每一次乘以 $L_{i}$ 矩阵时，都需要第 $i$ 个主对角元素不为0，这样才能作为分母，把该列下面的元素全部通过初等行变换消掉，如果矩阵 $L_{i}\cdots L_{1}A$ 的第 $i$ 个主对角元素为0，那么久不能再乘以 $L$ 了，举个例子：

$$A = \left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 4 \\ 4 & 2 &13 \\ 2& 2 & 20 \\ \end{array}\right] \xlongequal{r_{2} - 2r_{1},r_{3}-r_{1}} \left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 4 \\ 0 & 0&5 \\ 0& 1 & 16 \\ \end{array}\right]$$

此时就无法继续化成上三角了。

2. 什么情况分解唯一

上面也讲了，当顺序主子式不等于0时，具有唯一分解。那么什么情况下不唯一呢？当然是顺序主子式等于0的情况，但是同时要注意上面举例说过如果碰到主子式等于0很可能出现无法继续化简的情况，但是如果恰好碰到该列下面所有元素都为0时，那就不用乘这个$L$了。我们举例说明：

$$A = \left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 4 \\ 4 & 2 &13 \\ 0& 0 & 6 \\ \end{array}\right] \xlongequal{r_{2} - 2r_{1}} \left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 4 \\ 0 & 0&5 \\ 0& 0 & 6 \\ \end{array}\right]$$

恰好第三行需要消除的元素本身就为0.

但是此时有一个问题就是，我可以当作看成第三行没有变，我也可以是将任意倍数的第二行加到第三行，那么此时的$L_{2}$既可以是单位阵，也可以是其他下三角矩阵，即$L_{2}$不唯一，那么所有$L$的乘积自然不唯一。

$$A = \left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 4 \\ 4 & 2 &13 \\ 0& 0 & 6 \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 1 & & \\ 2 & 1& \\ 0& 0 & 1 \\ \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 4 \\ 0 & 0&5 \\ 0& 0 & 6 \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 1 & & \\ 2 & 1& \\ 0& 1 & 1 \\ \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 4 \\ 0 & 0&5 \\ 0& 0 & 1 \\ \end{array}\right]$$

二、带行变换的LU分解

之前说过，如果遇到某次变换后的主对角元素为0那么就不能继续进行变换，但是我们要是将下面的行移上来呢，那主对角元素不就非0了吗？
我们用增广矩阵的形式来描述上述过程：

$$\left [ \begin{array}{c:c} A& I_{n}\\ \hdashline I_{n}& \end{array} \right ] \rightarrow \left [ \begin{array}{c:c} PA& P\\ \hdashline I_{n}& \end{array} \right ]\rightarrow \left [ \begin{array}{c:c} PAQ& P\\ \hdashline Q& \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c:c} L& P\\ \hdashline Q& \end{array} \right ]$$

整个过程的目的就是将A变成下三角矩阵，由于每次只会将右边的列换到左边，所以$Q$一定是上三角阵，P为置换阵（多个初等行变换相乘）。

$$PA = LQ^{-1} = LR$$

三、LDR分解

若满秩方阵A有LR分解：

$$A = L\cdot \widetilde{R}$$

则$\widetilde{R}$也是满秩矩阵，且对焦元素不为0，有：

$$\widetilde{R}=\left[\begin{array}{cccc} d_{1} & & & \\ & d_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & d_{n} \end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc} 1 & r_{12} & \cdots & r_{1 n} \\ & 1 &\ddots &\vdots \\ & & \ddots& r_{(n-1) n}\\ & &&1 \end{array}\right]$$

从而$A = LDR$,其中L为单位下三角阵，D为对角阵，R为单位上三角阵。
与LR分解对比，我们只需要知道如何分解得到：
$\widetilde{R} = DR$，举例说明：

$$\widetilde R = \left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 4 \\ & 1 &5 \\ & & 11 \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 2 & & \\ & 1 & \\ & & 11 \\ \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1/2 & 2 \\ & 1 &5 \\ & & 1 \\ \end{array}\right]$$

实际上就是除以该行的主对角元素，因为对角矩阵只是会缩放当前行（左乘时），将D分解出去相当于提出了一个系数。

四、Cholesky分解

若矩阵A是对称正定矩阵，其顺序主子式$\Delta_{k}>0$，所以A具有唯一的LDR分解，即$A = LDR$，其中D为对角阵：

$$D = \begin{pmatrix} d_{1 }& & &\\ &\ddots&\\ & &d_{n}\\ \end{pmatrix}$$

由于A是对称矩阵，则有$A = A^{T}=LDR=(LDR)^{T}=R^{T}DL^{T}$，同时LDR分解是唯一的，说明：$L=R^{T}$,A也可以表示为：

$$A=LDR=LD^{\frac{1}{2}}D^{\frac{1}{2}}L^{T}=LD^{\frac{1}{2}}(LD^{\frac{1}{2}})^{T}=GG^{T }$$

这里需要说明，因为A是正定的，D作为对角阵所有元素都是大于零的 （理由我也讲不清楚，但是D的子行列式（$d_{1}\cdot d_{2}\cdots d_{k}$）是等于A对应的顺序主子式$\Delta_{k}$的）,所以 $D^{\frac{1}{2}}$ 相当于所有元素$d_{i}$开方求得。
举例：

$$\left [ \begin{array}{c:c} A& I_{n}\\ \hdashline I_{n}& \end{array} \right ] \rightarrow \left [ \begin{array}{c:c} PAP^{T}& P\\ \hdashline P^{T}& \end{array} \right ]\rightarrow \left [ \begin{array}{c:c} D& G\\ \hdashline G^{T}& \end{array} \right ]$$

解释一下，这里对A同时进行行和列的变换，因为A是对称矩阵，那么行怎么化简消除，列也应该怎么化简消除，所以两边是转置的关系，又因为总是消除下面的行，消除右边的列，所以P是下三角矩阵，最后的G也是下三角矩阵。

本位最初发表于2021.11 @肆拾伍

Q.E.D.